Matematikte basit görünen ama yüzyıllardır çözülemeyen, bizi şaşırtan bir sırrı hiç düşündünüz mü? Bazı sayılar neden bu kadar gizemli, bu kadar büyülü gelir bize? İşte asal sayılar varsayımları da tam da bu hissi uyandırıyor. Tanımları ilkokul seviyesinde öğrenilecek kadar basit olsa da, matematikçileri nesillerdir peşinden koşturan, çözülememiş pek çok soruyu beraberinde getiriyorlar. Gelin, bu tuhaf ve gizemli sayıların dünyasına, yüzyıllar öncesine uzanan bir yolculuğa çıkalım.
Asal Sayılar: Tanımı Basit, Gizemi Derin
Peki, bu asal sayılar tam olarak nedir? Basitçe söylemek gerekirse, sadece 1’e ve kendisine bölünebilen tam sayılara asal sayı diyoruz. Mesela 7 bir asal sayıdır, 13 de öyle. Ama 21 asal değildir, çünkü 3’e tam bölünebilir. 100 de asal sayı değil, 10’a bölünüyor. Akla gelen ilk asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… diye devam ederler. Çok basit, değil mi? Ama bu basit tanımın ardında, henüz çözülememiş, matematik dünyasını heyecanlandıran pek çok sır var.
Goldbach Varsayımı: Her Çift Sayı İki Asalın Toplamı mı?
Bu sır perdesinin en bilinen yüzlerinden biri, 18. yüzyılda yaşamış Alman matematikçi Christian Goldbach’ın ortaya attığı bir fikir: Goldbach Varsayımı. Goldbach, her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini öne sürdü. Bu fikir ona mantıklı gelse de, nasıl ispat edeceğini bilemiyordu. Dönemin belki de tüm zamanların en büyük matematikçilerinden Leonhard Euler ile yazışarak bu konuyu danıştı. Euler de bu varsayımın doğruluğundan emindi ama o da ispatını bulamadı.
Şaşırtıcı ama bugün bile kimse bunu ispatlayabilmiş değil! Yani, herhangi bir çift sayının gerçekten de iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini matematiksel olarak henüz gösteremedik. Yine de hepimiz, her denediğimizde işe yaradığı için buna inanıyoruz. Mesela:
* 8 = 5 + 3
* 12 = 5 + 7
* 20 = 17 + 3 (veya 13 + 7)
Gördüğünüz gibi, çoğu zaman birden fazla çözüm de bulunabiliyor. Doğruluğuna emin olduğumuz ama ispatlayamadığımız bu tür fikirlere varsayım diyoruz. Günümüzde bilgisayarlar, Goldbach Varsayımı’nı 4 kentilyona (yani 4 milyar kere milyar) kadar doğruladı! Anlaması bu kadar kolay ama çözümü yüzyıllardır matematikçileri zorlayan bir problem bu.
Asal Sayıların Dağılımı ve İkiz Asallar Varsayımı
Asal sayılar, sayı doğrusu üzerinde nasıl dağılıyorlar peki? Mesela, 0 ile 100 arasında 25 asal sayı varken, 0 ile 1000 arasında 168, 0 ile 10000 arasında ise 1229 asal sayı var. Yüzdelere baktığımızda, aralık genişledikçe asal sayıların oranı azalıyor. Öklid’in 2000 yıl önce kanıtladığı gibi sayılar sonsuza kadar gitse de, asal sayıların aralarındaki mesafe arttıkça seyrekleştiğini görüyoruz.
Bazen asal sayıların arasında sadece 2 fark olduğunu fark ederiz: 5 ve 7, 11 ve 13, 17 ve 19 gibi. Bunlara ikiz asallar deniyor. Peki, sonsuz tane ikiz asal var mı? Bunu da bilmiyoruz. Herkes evet dese de, henüz kimse bunu ispatlayamadı. Buna da İkiz Asallar Varsayımı denir. Bilgisayarlar 1 kentilyona kadar 800 trilyon ikiz asal buldu ama sonsuza kadar gidersek bu ikiz asallara rastlamaya devam edecek miyiz, muamma.
İkiz asalların çeşitleri de var:
* Aralarında 4 fark olanlara kuzen asallar (7 ve 11, 13 ve 17 gibi) denir. Sonsuz tane var mı? Bilmiyoruz.
* Aralarında 6 fark olanlara ise seksi asallar (23 ve 29 gibi) denir. İngilizce ve Fransızcada 6 “six” olarak telaffuz edildiği için bu ismi almışlar, seksi olmakla bir alakası yok! Bunların da sonsuz olup olmadığını bilmiyoruz.
Yitang Zhang’ın Çığır Açan Keşfi
Peki bu “bilmiyoruz” döngüsü hiç kırılmıyor mu? 2013 yılında Yitang Zhang adlı, o zamanlar pek tanınmayan bir matematikçi, bu konuda muhteşem bir gelişme kaydetti. Zhang, asal sayılar arasındaki farkların sınırlı olduğunu göstererek, 70 milyondan küçük farklarda mutlaka en az bir çift asal sayı olduğunu kanıtladı. Bu belki size başta çok büyük bir adım gibi görünmeyebilir ama problemin çözümünü tamamen engellemişti.
Birkaç ay içinde diğer matematikçiler de bu konuya dalarak, sayılar arasındaki fark 246’dan az olduğu zaman en az bir çift asal sayının varlığını göstererek çözümü güçlendirdiler. Zhang, bu buluşunu dünyanın en iyi matematik dergilerinden Annals of Mathematics’e gönderdi ve kısa sürede bir süperstar oldu. Bu hikaye, sistemin dışında, yalnız başına çalışan bir dahinin bile ne kadar büyük işler başarabileceğini gösteren nadir örneklerden biri. Belki içinizden biri de bir gün Goldbach Varsayımı’nı ispatlar, kim bilir?
Leonhard Euler: Matematiğin Evrensel Dehası
Madem büyük dehalardan bahsediyoruz, gelin, Goldbach’ın mektuplaştığı, tüm zamanların en büyük matematikçilerinden kabul edilen Leonhard Euler hakkında biraz daha bilgi verelim. Euler, 18 Eylül 1783’te St. Petersburg’da torunlarına matematik dersi veriyor, balonların uçuşuyla ilgili hesaplamalar yapıyor ve Uranüs gezegeninin yörüngesi üzerine çalışıyordu. Hatta o gün geliştirdiği denklemler, yıllar sonra Neptün gezegeninin keşfini sağlayacaktı!
Ne yazık ki, ertesi gün, 19 Eylül’de öğleden sonra 5 civarında geçirdiği bir beyin kanamasıyla “Ben ölüyorum” dedi ve o akşam hayata veda etti. Böylece, tüm zamanların en üretken matematik kariyeri sona erdi. İsviçre doğumlu Euler, hayatını Berlin ve St. Petersburg’da geçirdi, matematik, fizik ve mühendisliğin her alanında olağanüstü etkiler bıraktı. Derlenmiş çalışmaları olan Opera Omnia, şu an 600’er sayfalık 73 cilde ulaşıyor ve hâlâ eksik!
Asıl hayranlık verici kısım ise, hayatının son 17 yılı. Bu dönemde görme yetisini tamamen kaybeden Euler, çalışmalarının yarısını kaleme aldı! Evet, yanlış duymadınız, tamamen kör olmasına rağmen, Ay’ın hareketleri üzerine 775 sayfalık bir inceleme, önemli bir cebir ders kitabı ve 3 ciltlik bir integral hesapları eseri dahil binlerce sayfayı aklından dikte ettirdi. Böylesine bir zihin gücü, gerçekten akıl almaz.
Königsberg Köprüleri Problemi ve Grafik Teorisi’nin Doğuşu
Euler’in daha gençken, gözleri henüz sağlamken çözdüğü bir problem de, Königsberg Köprüleri Problemi‘dir. O dönemde Königsberg şehri, Pregel Irmağı’nın iki yakasına yayılmış, huzurlu bir kentti. Şehrin üzerinde yedi köprü vardı ve halkın en sevdiği bilmecelerden biri şuydu: “Aynı köprüden iki kez geçmeksizin, yedi köprünün tümünden geçmek mümkün müdür?”
Euler, 1736 yılında, böyle bir güzergahın yedi köprü olduğu sürece mümkün olamayacağını sağlam bir matematiksel kanıtla gösterdi. Ancak onun dehası sadece problemi çözmekle kalmadı, farkında olmadan Grafik Teorisi olarak bilinen uçsuz bucaksız matematik dalının da temellerini attı. Euler, Königsberg köprülerini bir grafik olarak gördü: Kara parçalarını düğümler (A, B, C, D) ve köprüleri ise bu düğümler arasındaki bağlantılar olarak modelledi.
İspatının temelinde basit bir gözlem yatıyordu: Tek sayılı bağlantılara sahip düğümler, bir yolculuğun ya başlangıç ya da bitiş noktası olmak zorundadır. Bütün köprülerden geçen kesintisiz bir güzergahın sadece bir başlangıç ve bir bitiş noktası olabilir. Königsberg’de ise birden fazla tek sayılı bağlantıya sahip düğüm vardı, bu yüzden böyle bir yol mümkün değildi. Bugün grafik teorisi, sosyal medya ve internet bağlantılarından tutun da ağ bilimlerine kadar pek çok alanda düşünmemizin temelini oluşturuyor. Euler matematik dünyasına sadece sayılarla değil, bu devrim niteliğindeki yaklaşımlarıyla da sonsuz bir miras bıraktı.
Sıkça Sorulan Sorular
Asal sayılar neden bu kadar önemlidir?
Asal sayılar, matematiğin temel yapı taşlarından biridir. Çarpmanın ve bölmenin “atomları” gibidirler. Kriptografi gibi modern teknolojilerde güvenlik protokollerinin temelini oluştururken, matematik dünyasında Goldbach veya ikiz asallar gibi çözülememiş varsayımlara ilham vererek araştırmaları tetiklerler. Onların gizemli dağılımı, sayı teorisinin en derin sorularını ortaya çıkarır.
Goldbach Varsayımı ispatlanabilir mi?
Evet, Goldbach Varsayımı’nın matematiksel olarak ispatlanması mümkündür ve matematikçiler yüzyıllardır bunun üzerinde çalışmaktadır. Bilgisayarlar aracılığıyla 4 kentilyona kadar doğrulanmış olsa da, bu bir “kanıt” değil, sadece büyük sayılar için “doğrulama”dır. Genel bir matematiksel ispat, her çift sayı için bu kuralın istisnasız geçerli olduğunu gösteren soyut bir yöntem gerektirir. Bu ispatın zorluğu, asal sayıların düzensiz dağılımından kaynaklanmaktadır.
Euler, görme yeteneğini kaybetmesine rağmen nasıl bu kadar üretken olabildi?
Leonhard Euler, görme yeteneğini kaybettikten sonra bile inanılmaz bir zihinsel kapasite ve hafızaya sahipti. Yıllarca edindiği tüm bilgiyi ve formülleri aklında tutabiliyordu. Çalışmalarını kâğıda dökemediği için asistanlarına dikte ettirerek, binlerce sayfalık karmaşık matematiksel teorileri ve hesaplamaları sadece düşünce gücüyle oluşturdu. Bu durum, onun dahi bir zihnin ne kadar ileri gidebileceğinin çarpıcı bir örneğidir.
